(Kolozsvár, 1802. dec. 15. – Marosvásárhely, 1860. jan. 27.)

Édesapja Bolyai Farkas szintén korának ismert matematikusa volt, Gauss jó barátja.

Bolyai János alap és középfokú tanulmányait Marosvásárhelyen végezte. Édesapja igyekezett őt nagyon sokoldalúan nevelni, saját maga foglalkozott vele matematikából. 15 éves volt, amikor a nemzetközileg is elismert édesapa büszkén jelenthette ki, hogy ő már semmi újra nem tudja tanítani.

Ekkor már kitűnően vívott, hegedült, német és latin nyelvtudással rendelkezett. És valóban, kémiából, fizikából, csillagászatból és matematikából mindent megtanult édesapjától, amit lehetett. Bolyai János édesapjától azonban nemcsak ismereteket, de a gondolkodásban igényességet és a matematika és a tudományok iránti tiszteletet is megtanulta. Bolyai Jánost éppen ekkor érte az első komoly csalódás. Édesapjával úgy tervezték, hogy majd Gauss lesz további mestere. Gaussazonban Bolyai Farkas levelére még csak nem is válaszolt.

1818-tól a bécsi hadmérnöki akadémia hallgatója lett, amelyet mindjárt a 4. évfolyamon kezdett el. A tehetséges fiatal tisztre felfigyelt János főherceg, a hadiakadémia parancsnoka. Erről a Bolyai Farkashoz írt levél tanúskodik. 1823 és 1833 között hadmérnökként katonai szolgálatban volt. Először hadnagy, majd főhadnagy, később kapitányi rangban. Bolyai János azonban már ekkor is intenzíven foglalkozott a matematikával. Ezen a téren ért csalódásai következtében ingerlékeny, összeférhetetlen emberré vált. Folyamatosan konfliktusba került bajtársaival, rendszeresen párbajozott, amely közül sok ellenfele halálával végződött. Idővel már katonai szolgálatát is elhanyagolta. Ennek következtében 1833-ban 31 évesen nyugdíjazták.

1833 és 1846 között Domáldon, ezután haláláig Marosvásárhelyen dolgozott. 1834-ben összeköltözött Kibédi Orbán Rozáliával, mivel nem volt pénze az ebben az időben a katonatisztek házasodásakor szokásos ún. kauciót letétbe helyezni. Ekkor már édesapjával sem volt felhőtlen a viszonya, elsősorban házassága miatt. Kapcsolatukból két gyermek született, Dénes és Amália. Bolyai János családjával a kis katonai nyugdíj, a gyengén jövedelmező domáldi birtok miatt állandó anyagi nélkülözésben élt. 1848-49-es szabadságharc idején, a Habsburg-ház trónfosztása után lehetővé vált, hogy törvényesítse házasságát. A szabadságharc bukása után azonban ezt a házasságot semmisnek tekintették. 1846-ban visszaköltözik Marosvásárhelyre, és itt élt elvonultan a világtól.

1852-ben Bolyai János szakított feleségével, Orbán Rozáliával, és ekkor édesapjával is kibékült. Életük hátralévő idejében békében éltek egymással. Kettejük kapcsolatáról szól Németh László: "Két Bolyai" című drámája.

1857 óta folyamatosan betegeskedett. 1860. január 27.-én tüdőgyulladás következtében, 58 éves korában halt meg ez a tragikus sorsú tudós. Végső útjára mindössze hárman kisérték el. Sírját is elfelejtették, csak később sikerült felkutatni. 1911-ben hamvait exhumálták, és nagy ünnepélyességgel, édesapjával együtt helyezték közös sírba a marosvásárhelyi református temetőben.

A világon valaha élt 10 legnagyobb matematikusként tartották, tartják számon.

1902-ben Bolyai János születésének 100. évfordulóján a Magyar Tudományos Akadémia Bolyai János emlékdíjat alapított. 1910-ben ezt a díjat Hilbert kapta. Az I. világháború után, annak következményei miatt sajnos ez a Bolyai-díj megszűnt.

Munkásságáról:

Már édesapja, Bolyai Farkas is sokat foglalkozott az euklideszi axióma rendszer V. posztulátumával, a híres párhuzamossági axiómával. Mivel sok próbálkozás után sem járt sikerrel, fiát is óvta, hogy evvel foglalkozzon.

A katonai akadémiai évek alatt, 1820-tól Bolyai János egyre többet foglalkozott ezzel a problémával, édesapja intése ellenére (vagy talán éppen ezért). Ekkor született meg az a gondolat, hogy a végtelen nagy sugarú körvonal egyenesnek tekinthető.

1823-ban belátta, hogy a párhuzamossági axióma nem bizonyítható sem direkt sem indirekt módon. Ekkor jutott arra a gondolatra, hogy a párhuzamossági axióma tagadásával, de a többi euklideszi axiómával együtt egy új abszolút geometria építhető fel.

"A semmiből egy új, más világot teremtettem." írta 1823. november 3.-án édesapjához írt levelében. Korszakalkotó műve azonban csak 1832-ben édesapja Tentamen című művének függelékeként (Appendix) jelent meg először nyomtatásban. Művének eredeti címe azonban Scientia Spatii (A tér tudománya). Igaz különnyomatként a Tentamen-t és az Appendix-t már 1831-ben kiadták, Bolyai Farkas ebből küldött Gauss-nak is. És Bolyai Jánost éppen ekkor érte élete legnagyobb csalódása. Mert Gauss Bolyai Farkashoz intézett válasza így szólt:

"Ha avval kezdem, hogy nem szabad dicsérnem, bizonyára meghökkensz, de mást nem tehetek; ha megdicsérném, ez azt jelentené, hogy magamat dicsérem; mert a mű egész tartalma, az út, amelyet fiad követett és az eredmények, melyekre jutott, majdnem végig megegyeznek részben már 30-35 év óta folytatott meditatióimmal. Valóban, ez rendkívül meglepett engem."

A követezőkben pedig leírja, hogy azért nem publikálta eddig ezen a téren eredményeit, mert csak kevesen értették volna meg! Majd befejezésül: 

"Nagyon meglepett tehát, hogy e fáradtságtól már most megkímélhetem magamat, és nagyon örvendek, hogy éppen régi jó barátom fia az, ki engem oly csodálatos módon megelőzött."

A tudományos téren tapasztalt meg nem értés, a magánélet viszontagságai, anyagi nehézségei hosszú ideig akadályozták abban, hogy matematikai tudományos munkásságát érdemben folytathassa. Foglalkozott ugyan azzal, hogy az axiómákra alapozva kiépít egy teljes geometriai rendszert. Ez a Raumlehre (Tértan) című műve azonban befejezetlenül maradt.

1837-ben a lipcsei Jablonowski Társaság pályázatára beküldte Responsio (Felelet) című művét, de nem méltatták. Ami nem csoda, hiszen éppen azt bizonyította benne, hogy a pályázatban kiírt kérdés (képzetes mennyiségek szerkeszthetők-e) nem lényeges. Pályaművében kifejtette ugyanakkor, hogy nagyon fontos a képzetes illetve komplex számok pontos fogalmának megalkotása. Bolyai a komplex számok elméletét a korát megelőző módon, aritmetikai alapon határozta meg. Megmutatta ugyanakkor azt is, hogy az abszolút geometriában a képzetes mennyiségek (komplex számok) új szerephez jutnak. Bírálói azonban nem értették meg őt, hiszen az Appendixet sem ismerték.

Az általa, és tőle független az orosz Lobacsevszkij által felfedezett új, nem-euklideszi geometria, új nevén a Bolyai_Lobacsevszkij féle hiperbolikus geometria a XX. századi relativitáselméletnek egy szükséges előzménye volt. E nélkül a világegyetem szerkezetére és történetére vonatkozó mai elméletek sem jöhettek volna létre.